算例分析

算例8.1：非線性極限狀態(tài)函數(shù)為，其基本隨機(jī)變量和均為正態(tài)分布且相互獨(dú)立，、。的分布取為均值為0.5、標(biāo)準(zhǔn)差為0.2的正態(tài)分布。本例運(yùn)用Monte Carlo抽樣106個(gè)的樣本點(diǎn)，得到4081個(gè)失效樣本來(lái)估計(jì)密度函數(shù)。以下給出四種擬合方法得到的失效概率函數(shù)和全局靈敏度的曲線圖。

對(duì)于此數(shù)值算例，利用4081個(gè)失效樣本點(diǎn)擬合失效概率函數(shù)，由圖8.1和圖8.2可知，基于上述四種方法所得的失效概率函數(shù)及全局靈敏度曲線均接近于參考精確解。相比較而言，基于正交多項(xiàng)式擬合密度函數(shù)的方法得到的失效概率函數(shù)及全局靈敏度曲線與參考精確解的曲線最為接近，其它三種方法得到的失效概率函數(shù)在區(qū)間尾部與參考精確解相對(duì)差異較大。

算例8.2：如圖8.3所示的Y型節(jié)點(diǎn)管，剖面A－A的載荷為軸向力，面內(nèi)彎矩，截面彎矩，極限狀態(tài)方程為。其中、和為互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機(jī)變量，其分布參數(shù)見(jiàn)表81。的分布取為均值為2×103、標(biāo)準(zhǔn)差為0.5×103的正態(tài)分布。本例運(yùn)用Monte Carlo抽樣105個(gè)的樣本點(diǎn)，得到760個(gè)失效樣本來(lái)估計(jì)條件密度函數(shù)。以下給出四種擬合方法所得到的失效概率函數(shù)和全局靈敏度的曲線圖。

對(duì)于此工程算例，利用760個(gè)失效樣本點(diǎn)擬合概率密度函數(shù)和全局靈敏度。由圖8.4容易看出基于最大熵法、有限混合密度法和自適應(yīng)核密度估計(jì)法得到的失效概率函數(shù)曲線在區(qū)間首部與參考精確解非常貼切，但在區(qū)間尾部誤差較大。基于正交多項(xiàng)式擬合概率密度函數(shù)方法得到的失效概率函數(shù)及全局靈敏度曲線在參數(shù)變化的整個(gè)區(qū)間內(nèi)均與參考精確解的曲線較接近。圖8.5結(jié)果也說(shuō)明基于正交多項(xiàng)式擬合概率密度函數(shù)的全局靈敏度分析結(jié)果更接近于參考精確解。

算例8.3：本例分析了如圖8.6所示的三跨度梁，其中。考慮三跨度梁撓度最大允許值為，可以建立極限狀態(tài)函數(shù)，式中為分布載荷，為彈性模量，為慣性矩，基本隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，其分布參數(shù)見(jiàn)表82。的分布取為均值為10、標(biāo)準(zhǔn)差為0.4的正態(tài)分布。本例運(yùn)用Monte Carlo抽樣105個(gè)的樣本點(diǎn)，得到900個(gè)失效樣本來(lái)估計(jì)條件密度函數(shù)。以下給出四種擬合方法所得到的失效概率函數(shù)和全局靈敏度。

對(duì)于此工程算例，利用900個(gè)失效樣本點(diǎn)擬合概率密度函數(shù)和全局靈敏度。由圖8.7可以看出基于有限混合密度和自適應(yīng)核密度估計(jì)方法得到的失效概率函數(shù)曲線波動(dòng)較大，其他兩種方法雖也有較大誤差，但與參考精確解的曲線的趨勢(shì)較為貼近。由圖8.8可以看出基于最大熵密度估計(jì)法與正交多項(xiàng)式擬合概率密度法所得的全局靈敏度曲線與參考精確解的曲線相差不大，而基于有限混合密度法與自適應(yīng)核密度估計(jì)法得到的全局靈敏度仍然波動(dòng)較大。

  結(jié)論

本章分別采用了最大熵法、有限混合密度法、自適應(yīng)核密度估計(jì)法及正交多項(xiàng)式擬合法這四種不同方法擬合失效參數(shù)樣本的條件概率密度函數(shù)，并利用其結(jié)果求解失效概率函數(shù)，最終進(jìn)行基于擴(kuò)展可靠性試驗(yàn)的全局靈敏度分析。算例結(jié)果表明，當(dāng)用來(lái)擬合的失效樣本數(shù)較多時(shí)，上述四種方法均可以得到與實(shí)際解較為接近的失效概率函數(shù)及全局靈敏度結(jié)果；當(dāng)用來(lái)擬合的失效樣本點(diǎn)較少時(shí)，有限混合密度法和自適應(yīng)核密度估計(jì)得到的失效概率函數(shù)及全局靈敏度曲線的波動(dòng)較大，最大熵密度估計(jì)法和正交多項(xiàng)式擬合概率密度函數(shù)法能夠得到較穩(wěn)定的估算結(jié)果，且比之于最大熵法求解約束方程的計(jì)算，正交多項(xiàng)式擬合法更為精簡(jiǎn)。